Ο Αργύρης Καμπούρης γεννήθηκε το 1962 στην Αστυπάλαια αλλά μεγάλωσε στον Πειραιά όπου κι ανδρώθηκε μπασκετικά μέσα από τα τμήματα υποδομής του Ολυμπιακού.

Το 1979 συμπεριλαμβάνεται στην πρώτη ομάδα του Ολυμπιακού κι ένα χρόνο μετά δίνεται δανεικός για μια σεζόν στη Γλυφάδα στα πλαίσια της μετεγγραφής του Γιάννη Παραγιού. Την επόμενη σεζόν επιστρέφει στο λιμάνι όπου και θα μείνει ως το 1995 κατακτώντας με τον Ολυμπιακό ως αρχηγός του, τρία πρωταθλήματα (1993, 1994, 1995) κι ένα κύπελλο Ελλάδας (1994).

Τη σεζόν 1995-96 θα φορέσει τη φανέλα του Περιστερίου και στη δυτική όχθη θα τελειώσει την καριέρα του ως αθλητής.

Αναμφισβήτητα, η πιο σημαντική στιγμή στην καριέρα του υπήρξε το Ευρωμπάσκετ του 1987, όταν στον τελικό με τη Σοβιετική Ένωση ευστόχησε στις δυο τελευταίες βολές του αγώνα και χάρισε το τρόπαιο στην Εθνική Ελλάδας με την οποία έχει κατακτήσει ακόμα ένα αργυρό μετάλλιο στο Ευρωμπάσκετ της Γιουγκοσλαβίας το 1989. Στα δέκα χρόνια που αγωνίστηκε στην Εθνική ομάδα, συμμετείχε σε τρία Ευρωπαϊκά Πρωταθλήματα (1987, 1989, 1991) και σε δυο Παγκόσμια Πρωταθλήματα (1986, 1990), αγωνιζόμενος 126 αγώνες και σκοράροντας συνολικά 529 πόντους.

Την προπονητική του καριέρα την ξεκίνησε με την ομάδα των Αγίων Αναργύρων την οποία και οδήγησε από τη Β’ ΕΣΚΑ στη Γ’ Εθνική κατηγορία, ενώ έχει δουλέψει ακόμα στο Αιγάλεω, την Ελευσίνα και τη Νίκη Αμαρουσίου. Τα τελευταία χρόνια εργάζεται στα τμήματα υποδομής του Ολυμπιακού ως τεχνικός σύμβουλος.